Orthogonalointi

Orthogonalointi on prosessi, jolla joukko vektoreita muutetaan siten, että tuloksena on ortogonaali (tai orthonormaali) joukko, joka kattaa saman alijoukon kuin alkuperäinen. Ortogonaalisuutta käytetään yksinkertaistamaan laskuja ja tilankäyttöä lineaarialgebrassa, signaalin käsittelyssä ja tilastotieteessä.

Yleisin menetelmä orthogonalointiin on Gram–Schmidt-prosessi. Siinä annettu lineaarisesti riippumaton vektorijoukko v1, v2, ..., vk muunnetaan järjestyksessä kohti ortogonaalisia vektoreita u1, u2, ..., uk siten, että

u1 = v1, ja

ui = vi − sum_{j< i} proj_{uj}(vi),

missä proj_{uj}(vi) on vi:n osittaminen uj:n suhteen. Orthonomaalin hylän saamiseksi jaetaan jokainen ui sen normilla: ei = ui / ||ui||. Säätynyt muoto on erityisen hyödyllinen, kun lasketaan projekteja tai ratkaistaan pienarvoisia sovitusongelmia.

Numerisen vakauden vuoksi käytetään usein Modified Gram–Schmidt -muotoa tai vaihtoehtoisia menetelmiä, kuten Householder-tyyppisiä transformaatiota tai QR-mijausta (A = QR), jossa Q on ortogonaalinen ja R on ylösnouseva. Näillä menetelmillä säilytetään ortogonaalisuus paremmin, mikä on tärkeää suurissa luvuissa.

Sovellusalueet kattavat muun muassa least squares -ongelmat, signaalin ja kuvan käsittelyn sekä pääkomponenttianalyysin (PCA), jossa havainnointialueen ortogonaaliset perusvektorit löytyvät exploit- ominaisarvojen tai kovarianssimatriisin ominaisarvojen avulla. Ortogonaalisuus yksinkertaistaa monimutkaisia laskutoimituksia ja minimoi korrelaatiot, mutta laskennan virhemaaku voi aiheuttaa menetyksiä; tällöin tarvitaan re-ortogonalisaatiota tai vakaampia algoritmeja.

Lyhyesti sanottuna orthogonalointi muuntaa vektoreita siten, että ne ovat toisinnäinortogonaalisia, mikä helpottaa matemaattisia ja käytännön sovelluksia lineaarialgebrassa.