kovarianssimatriisin

Kovarianssimatriisi (covariance matrix) kuvaa useamman satunnaismuuttujan välistä varianssi-kovarianssisuuntaa. Olkoot X = (X1, X2, ..., Xp)^T satunnaisvektori, jonka odotusarvo on μ = E[X]. Kovarianssimatriisi Cov(X) on p×p-matriisi, jonka i,j-entrie on Cov(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i])(X_j - E[X_j])]. Sen diagonaalilla ovat varianssit Var(X_i). Matriisi on symmetrinen ja positiivisesti semidefinite.

Yleensä Cov(X) = E[(X - μ)(X - μ)^T]. Jos X on p–ulotteinen satunnasvektori, Cov(X) kuvaa lineaarisen riippuvuuden rakennetta muuttujien välillä. Ominaisuuksiin kuuluu Cov(aX) = a Cov(X) a^T mille millea skaalaukselle a ja Cov(X+Y) = Cov(X) + Cov(Y) + Cov(X,Y) + Cov(Y,X); erityisesti, jos X ja Y ovat itsenäisiä, Cov(X+Y) = Cov(X) + Cov(Y).

Kovarianssimatriisi on keskeinen osa monia tilastollisia menetelmiä. Esimerkiksi, jos X on multivariate normaalijakauma, μ ja Cov(X) määrittelevät jakauman täysin. Käytännössä Cov(X) tarjoaa yhteisen mittarin muuttujien varianssien ja niiden keskinäisten riippuvuuksien asteesta. Sijoitettuna dataan, näytteen kovarianssimatriisi S = (1/(n-1)) ∑_{k=1}^n (x_k - x̄)(x_k - x̄)^T lainsa määrää muuttujien yhteisvaihtelun. Käyttöalueita ovat PCA, regressioanalyysit, riskianalyysi ja muut monimuuttujamenetelmät.