perusvektorit

Perusvektorit ovat vektorit, jotka muodostavat vektoritilan perustan. Ne ovat lineaarisesti riippumattomia ja kattavat tilan, eli jokainen vektori tilassa voidaan esittää yksiselitteisesti lineaarisena yhdistelmänä näistä vektoreista. Perusvektorien määrä vastaa tilan dimensiota.

Käytännössä useimmiten puhutaan vektoritilasta V ja sen basisjoukosta B = {b1, b2, ..., bn}. Jos V on n–ulotteinen, B koostuu n vektorista, ja jokainen v vektori voidaan kirjoittaa v = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn, jossa a1, ..., an ovat koordinaatit (koordinatit) suhteessa B:hen. Tämä antaa ainutlaatuisen koordinaatiston tilalle.

Esimerkkeinä voidaan mainita R^n:n standardi perusvektorit e1, ..., en, missä e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,0,...,0) ja niin edelleen. Jokainen v = (x1, ..., xn) voidaan esittää v = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en. Toisessa kontekstissa, kuten polynomien tilassa P2, basis voi olla {1, x, x^2}.

Perusvektorien valinta vaikuttaa laskujen mielekkyyteen ja helpottaa koordinaattien laskemista. Tavanomainen lisäominaisuus on ortogonaalinen tai ortonormaali perussetti, jolloin koordinaatit saadaan helposti projektoimalla. Basismuunnoksia hallitaan muuttujanvaihdoilla ja basismatriisien avulla; matriisin sarakkeissa ovat basisvektorit suhteessa toiseen basis, ja sen avulla voidaan muuntaa koordinaatit yhdestä basisestä toiseen. Perusvektorit ovat keskeinen käsite lineaarisessa algebrassa sekä funktio- ja polynomitiloissa.