basisvektorit

Basisvektorit ovat vektoreita, jotka muodostavat kannan jollekin vektoritilalle. Joukko vektoreita {v1, ..., vn} on kanta, jos ne ovat lineaarisesti riippumattomia ja niiden lineaarikombinaatit kattavat koko tilan. Kun tilan dimensiota kutsutaan n:ksi, kannan muodostaa n vektoria. Jokainen vektori v tilassa voidaan esittää ainutlaatuisesti v = a1 v1 + ... + an vn, ja koordinaatit a1, ..., an ovat vektorin koordinaatit suhteessa kantaan.

Esimerkkinä R^3:ssa standardikanta on e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) ja e3 = (0,0,1). Toinen kanta voi olla esimerkiksi u1 = (1,1,0), u2 = (0,1,1) ja u3 = (1,0,1), kun ne ovat lineaarisesti riippumattomia.

Kanta ei ole uniikki; yhtä tilaa voidaan kuvata monella eri kannalla. Koordinaattimuunnokset kuvaavat, miten vektorin koordinaatit muuttuvat, kun kantaa muutetaan. Matemaattisesti, jos B on n × n matriisi, jonka sarakkeina ovat kanta-vi, niin vektorin koordinaatit suhteessa kantaan muuntuvat tämän matriisin avulla.

Ortonormaalit kannat: jos vektorit ovat sekä ortogonaalisia että yhdenpituisia, ne muodostavat ortonormaalin kannan. Esimerkiksi standardikanta R^n on ortonormaali.

Käytännössä basisvektorit määrittävät, miten vektorit esitetään koordinaatteina valitun kantaan nähden. Kaikki vektorit voidaan kirjoittaa koordinaatteina suhteessa valittuun kantaan, mikä helpottaa laskua ja sovelluksia, kuten lineaarisia transformaatiota ja matriisiesityksiä.