ortonormaalin

Ortonormaali on käsite lineaarialgebrassa ja funktionaali. Ortonormaali joukko on vektoreista koostuva joukko V = {v1, v2, ..., vn}, jossa jokaisella vektorilla on normaali 1 ja vektorit ovat keskenään pistetuotoltaan nollia: ⟨vi, vj⟩ = 0 kun i ≠ j ja ⟨vi, vi⟩ = 1 kaikille i. Tällainen joukko on ortogonali, ja kun se lisäksi kattaa tilan V, siitä muodostuu ortonormaali kanta.

Esimerkiksi R^n:ssä standardi sisäinen tulo on ⟨x, y⟩ = x1 y1 + … + xn yn. Joukko vektoreita on ortonormaali, jos ne ovat yksikkövektoreita ja keskenään kohtisuoria. Tällöin matriisi, jonka sarakkeina ovat nämä vektorit, on ortogonallinen eli Q^T Q = I ja Q Q^T = I. Tämä tarkoittaa, että vektoreiden hajotelma ja laskut ovat erittäin yksinkertaisia.

Sijaintikerrannaiset koordinaatit ovat suoria: jos {v1, ..., vn} on ortonormaali kanta, niin kinematic x:n koordinaatit relaationa ovat ci = ⟨vi, x⟩, ja x = sum_i ci vi. Gram–Schmidt -menetelmällä voidaan mistä tahansa lineaarisesti riippuvasta joukosta luoda ortonormaali joukko samalla tilalla olevan kuvion säilyttäen.

Käytännössä ortonormaalit kannat helpottavat laskuja, kun lasketaan koordinaatit, projisoidaan vektoreita ja suoritetaan muunnoksia. Ne ovat keskeisiä myös kvanttimekaniikassa, signaalinkäsittelyssä sekä numeerisessa lineaarialgebrassa, jossa pyritään vakaasti ja tehokkaasti käsittelemään suuri- tai ääretöntä ulottuvuutta. Ortonormalisuus on yleiskäsite sekä finite- että infinite- (Hilbert-) tiloissa.