matriisiesityksiä

Matriisiesityksiä (matriisiesitys, mon. matriisiesitykset) tarkoittaa matriiseja, joita käytetään kuvaamaan lineaarisia transformaatiota tai ryhmäesityksiä suhteessa valittuun basis. Yleisesti kyse on siitä, miten lineaarinen muunnos tai ryhmätoiminta tallennetaan ja laskennallistetaan matriisimuodossa.

Lineaarisen muunnoksen matriisi

Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus ja T: V → V lineaarinen muunnos. Valitaan basis B = {v1, ..., vn}. T:n matriisi A basis B:ssä täyttää T(v_j) = ∑_{i=1}^n a_{ij} v_i, ja näin ollen [T(v)]_B = A [v]_B. Basisin muutos P antaa uuden matriisin A' = P^{-1} A P, joten samat muunnokset voidaan esittää eri basisseissä samankaltaisesti.

Ryhmäesitys

Ryhmä G:stä tehty esitys rho: G → GL(V) määrittää jokaiselle g ∈ G matriisin rho(g) suhteessa valittuun basis B:ssä V. Esitys muodostuu koko joukosta matriiseja {rho(g)}. Matalammalla tasolla voidaan siirtää esitys toiseen basis P, jolloin rho'(g) = P^{-1} rho(g) P kaikille g:lle. Näin kaksi esitystä ovat ooleteltavasti saman esityksen eri basisseissä.

Invarianssit ja sovellukset

Esitysten tärkeät invarianssit ovat dimension, det(rho(g)) ja trace rho(g). Etenkin tracen eli karakterin funktio chi(g) = tr(rho(g)) ajatellaan olevan basisista riippumaton, ja se toimii keskeisenä työkaluna ryhmä- ja peliteorian tutkimuksessa. Matriisiesityksiä hyödynnetään laajasti lineaarialgebrassa, diagonaalisuuden ja Jordan-formin etsimisessä sekä fyysisissä ja tietoteknisissä sovelluksissa.