Ortonormaalit

Ortonormaalit viittaavat vektorijoukkoon, joka on sekä ortogonaali että oikeanpituisia. Tarkemmin: joukko {v1, ..., vk} sisätilassa V on ortonormaali, jos jokaiselle i ja j pätee ⟨vi, vj⟩ = 0 silloin, kun i ≠ j, ja ⟨vi, vi⟩ = 1 kaikille i. Tässä sisätilan sisäinen energia tai pistetulo määrittelee ortonormaliteetin; kompleksiset tilat käyttävät konjugoitua pistetuloa ja δij-korvaa.

Jos joukko on täydellinen, eli span{v1, ..., vk} = V, se muodostaa ortonormaalin perustan (ONB) tilalle. Tällöin jokainen vektori x ∈ V voidaan esittää x = ∑i ⟨x, vi⟩ vi ja projektiopisteen koordinaatit ovat komponenteista ⟨x, vi⟩. Matriinisessa kuvauksessa ONB:n sarakkeet muodostavat ortogonaalisen tai yksikkömatriisin: Q^TQ = I reaaleissa tapauksissa ja Q^HQ = I kompleksisissa tapauksissa.

Ortonormaalien ominaisuuksia hyödynnetään erityisesti projektioissa, koordinaattien laskemisessa ja muutoksissa koordinaatistosta toiseen. Ne tekevät lukutaakkaa kevyemmäksi, kun käytetään Gram-sjärjestelyä (Gram-Schmidt) ortonormaali perustan hankkimiseksi mistä tahansa lineaarisesti riittävästä basisista. Näin voidaan säilyttää lineaarinen riippumattomuus ja yksinkertaistaa laskentaa.

Esimerkkejä ovat R^n:n tavallinen basis {e1, ..., en}, joka on orthonormaali, sekä Fourier- tai muiden L2-tilan ortonormaalit bases, joita käytetään signaalin ja funktionaalisen analyysin sovelluksissa. Ortonormaaleja käytetään laajasti muun muassa signaalinkäsittelyssä, numeerisessa lineaaralgebrassa, kvanttimekaniikassa ja tietokonegrafiikassa.