Orthogonalisatie

Orthogonalisatie is het proces waarbij een verzameling vectoren wordt omgezet in een verzameling vectoren die onderling orthogonaal zijn met betrekking tot een gegeven inwendig product, meestal de Euclidische inproduct. Als de vectoren bovendien genormaliseerd zijn, spreken we van orthonormalisatie. Orthogonaliteit betekent dat de inproduct ⟨v_i, v_j⟩ nul is voor i ≠ j; orthonormaliteit vereist dat ⟨v_i, v_i⟩ = 1.

De meest gebruikte methode is het Gram-Schmidt-proces. Begin met de eerste vector en bouw vervolgens de volgende vectoren door alle componenten die al in de gevormde richting liggen te verwijderen, gevolgd door normalisatie. Concreet: zet w_1 = a_1, en voor j > 1 bereken je w_j = a_j − ∑_{i<j} (⟨a_j, u_i⟩ / ⟨u_i, u_i⟩) u_i; vervolgens normaliseer u_j = w_j en e_j = u_j / ||u_j||. De naïeve Gram-Schmidt kan numeriek instabiel zijn; de Modified Gram-Schmidt en Householder-reflecties (bijv. voor QR-decompositie) bieden betere stabiliteit.

Andere benaderingen zijn QR-decompositie en orthogonalisatie via Householder-reflecties, die vaak gebruikt worden in numerieke lineaire algebra om een matrix te decomponeren als Q en R en om stabiel lineaire systemen of eigenwaardeproblemen op te lossen.

Toepassingen omvatten het vinden van een orthogonale basis voor een subruimte, vereenvoudigen van projecties en minimalisatieproblemen, efficiënte oplossing van lineaire systemen en least squares, en principal component analysis (PCA) in de statistiek. Orthogonalisatie speelt ook een centrale rol in functionele analyse en Hilbertruimten, waar vergelijkbare principes gelden in oneindig-dimensionale context.

---