Objektivfunktion

Objektivfunktion, auch Kosten- oder Ziel-Funktion genannt, ist eine Funktion, deren Wert im Rahmen eines Optimierungsproblems minimiert oder maximiert werden soll. Sie hängt von Entscheidungsvariablen ab, die die Lösung beschreiben. Ziel ist es, durch geeignete Wahl dieser Variablen einen möglichst guten Funktionswert zu erzielen.

Formen der Objektivfunktion variieren je nach Problemtyp. In linearen Programmierungen hat sie häufig die Form f(x)=c^T x, ergänzt durch lineare Nebenbedingungen. In quadratischen Programmen lautet sie f(x)=x^T Q x + b^T x + c; in vielen nichtlinearen Optimierungen kann sie beliebig komplex sein. Oft wird sie als Summe von Einzelbeiträgen geschrieben, etwa Kosten pro Aktivität plus Regularisierungsterm.

Der optimale Wert wird über den zulässigen Lösungsraum bestimmt, also über die Menge der Variablen, die die Nebenbedingungen erfüllen. Bei konvexen Objektivfunktionen und konvexen Nebenbedingungen gelten globale Optima; ohne Konvexität existieren häufig mehrere oder komplexe lokale Optima. In der Praxis wird die Objektivfunktion regelmäßig ergänzt durch Zusatzterme, wie Regularisierung, um Overfitting zu vermeiden. Anwendungsbeispiele sind lineare Programme, das Kleinste-Quadrate-Verfahren (Least Squares) und die Maximum-Likelihood-Schätzung, die oft als Negativlog-Likelihood formuliert ist.