Oberflächenfunktion

Oberflächenfunktion ist ein Begriff aus der Mathematik, der eine Fläche im dreidimensionalen Raum beschreibt, die als Graph einer reellen Funktion f definiert ist. Genauer bezeichnet man S eine Oberfläche der Form S = { (x, y, f(x, y)) | (x, y) in D }, wobei D ein Teilbereich von R^2 ist und f: D → R eine Funktion ist. Die Oberflächenfunktion ist damit eine Funktion zweier Variablen, deren Werte z- Koordinaten der Punkte der Fläche liefern.

Nicht jede Fläche lässt sich als Graph über die xy-Ebene darstellen. Eine Oberflächenfunktion ist eine spezielle Darstellung, bei der jedem Punkt des Projektionsebene ein eindeutiger Höhenwert zugeordnet wird. Andere Oberflächen können parametrisch beschrieben werden, z. B. durch r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Eigenschaften und Ableitungen: Ist f differenzierbar, existieren an jedem Punkt eine Tangentialfläche und partiellen Ableitungen fx und fy, die zur Bestimmung der Tangente genutzt werden. Der Gradient ∇f ist senkrecht zur Tangentenebene und liefert Orientierung in der xy-Ebene. Höhere Glattheiten (z. B. f ∈ C^k) ermöglichen genauere Aussagen über Krümmung und Oberflächenstrukturen. Krümmungseigenschaften wie mittlere und gaussische Krümmung lassen sich aus den zweiten Ableitungen von f ableiten.

Beispiele: z = f(x, y) mit f(x, y) = x^2 + y^2 ergibt eine Paraboloid-Oberfläche; f(x, y) = sin x cos y liefert eine wellige Oberfläche. Anwendungen finden sich in Grafik, Optimierung, Flächenberechnung und der Modellierung physikalischer Oberflächen.