Oberflächenbereiche

Oberflächenbereiche ist ein Begriff aus der Geometrie, der einen Teilbereich der Oberfläche eines mehrdimensionalen Objekts bezeichnet. Dabei steht die Größe dieses Oberflächenbereichs im Mittelpunkt, also die Fläche, die von einem bestimmten Abschnitt der Oberfläche gebildet wird. Der Begriff wird in der rein mathematischen Geometrie ebenso verwendet wie in Physik, Technik und Materialwissenschaft, wenn es um das Messen oder Vergleichen von Oberflächen geht.

In der differentialgeometrischen Beschreibung erhält ein Oberflächenbereich S ⊂ R^3 oft eine glatte Parametrisierung r(u,v) mit einem Gebiet D im Parameterraum. Die Oberfläche wird durch r(u,v) beschrieben, und der Oberflächenbereich wird durch A(S) = ∬_D |r_u × r_v| du dv gemessen. Das Vektorprodukt r_u × r_v liefert den Flächenvektor; dessen Betrag ≡ dS ist das Flächenelement. Damit lässt sich die Fläche einer beliebigen, entsprechend parametrisierten Oberfläche berechnen.

Ein klassisches Beispiel ist die Kugel radius R, deren Oberfläche die Fläche 4πR^2 hat. Durch die Parametrisierung r(θ,φ) = (R sinφ cosθ, R sinφ sinθ, R cosφ) und Integration über θ ∈ [0,2π], φ ∈ [0,π] erhält man das Flächenmaß. Für eine ebene Teilfläche in der Ebene gilt A = ∬_R dx dy, womit der Flächeninhalt der Teilfläche berechnet wird.

Eigenschaften: Oberflächenbereiche addieren sich über disjunkte Teilbereiche, das Gesamtmaß ergibt sich aus der Summe der Teilflächen. Die Fläche ist unabhängig von der Orientierung der Parametrisierung (das Vorzeichen wird durch den Betrag eliminiert).

Anwendungen finden sich in der Bestimmung von Adsorptions- oder Reaktionsflächen, in der Computergraphik, der Geometrie komplexer Modelle sowie in der Materialwissenschaft zur Charakterisierung von Oberflächen.