Flächenvektor

Der Flächenvektor ist in der Geometrie und Physik ein orientierter Vektor, der ein infinitesimales Flächenelement eines orientierten Flächenabschnitts repräsentiert. Die Richtung des Vektors steht senkrecht zur Fläche, und die Orientierung wird durch die Orientierung der Fläche festgelegt.

Für eine Fläche S, die durch eine Parametrisierung r(u, v) beschrieben wird, lässt sich das orientierte FlächenelementdVektor als dS-Element ausdrücken: dS = (∂r/∂u × ∂r/∂v) du dv. Die Größe dieses Vektors entspricht dem Flächenmaß des infinitesimalen Elements, dA, und seine Richtung ist normal zur Oberfläche. Die Orientierung hängt von der Reihenfolge der Parameter u und v ab; vertauscht man sie, ändert sich das Vorzeichen.

Spezialfälle: Wenn die Fläche als z = f(x, y) gegeben ist, lässt sich das Flächenvektor-Element als dS = (-f_x, -f_y, 1) dx dy schreiben. Die zugehörige Fläche hat die Magnitude |dS| = sqrt(1 + f_x^2 + f_y^2) dx dy. Der zugehörige Einheitsnormalenvektor ist n = (-f_x, -f_y, 1)/sqrt(1 + f_x^2 + f_y^2). Allgemein gilt n = (∂r/∂u × ∂r/∂v)/|∂r/∂u × ∂r/∂v|.

Verwendungen: Der Flächenvektor wird in Flussberechnungen verwendet, etwa bei Integralen der Form ∬_S F · dS, wobei dS der Flächenelementvektor ist. Bei geschlossenen Flächen erfolgt die Orientierung nach außen. Er spielt zudem eine zentrale Rolle bei Sätzen der Vektoranalysis wie dem Satz von Stokes und dem Gaußschen Flussensatz, wo Flächenintegrale mit Linien- bzw. Volumenintegralen verbunden werden.

Beispiele verdeutlichen, dass bei einer Ebene r(u, v) = p0 + u a + v b das Flächenvektor-Element dS = (a × b) du dv ist, konstant in Richtung und Betrag.