Normalijakauma

Normalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka on symmetrinen ja kellonkuorimaisen muotoinen. Se määritellään kahdella parametrilla: keskiarvolla μ ja hajonnalla σ > 0. Jakauman tiheysfunktio on f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x−μ)²/(2σ²)). Odotusarvo on μ ja varianssi σ²; tämän vuoksi jakauman keskellä ovat μ ja sen kulku määrittää sekä keskivälin että hajonnan. Normaalijakauma esiintyy usein luonnontieteissä ja sosiaalisissa ilmiöissä mittaustulosten summana.

Erityinen muoto on standardinen normaalijakauma, jonka μ = 0 ja σ = 1. Tällöin X:n standardointi Z = (X−μ)/σ tuottaa standardin normaalijakauman. Kumulatiivinen jakaumafunktio Φ(z) antaa todennäköisyyden, että X ≤ z. Φ:llä ei ole yksinkertaista suljettua muotoa, vaan sitä lasketaan erf-funktion tai taulukointien avulla. Jakauman kokonaispinta-ala on 1. Tämä mahdollistaa helposti tulkittavat suhteelliset riskit ja todennäköisyydet. Empirinen sääntö (68–95–99,7) kuvaa vastaavuutta: noin 68% arvoista on μ±σ:n sisällä, noin 95% μ±2σ:n sisällä ja noin 99,7% μ±3σ:n sisällä.

Sovellukset ja ominaisuudet: normaalijakaumaa pidetään tilastollisen päättelyn peruspilarina, koska monien mittausten summa ja virheet ovat likimääräisesti normaalisti jakautuneita. Parametrit μ ja σ voidaan arvioida otoksesta: x̄ on otoskeskiarvo ja s otos hajonta. Suuret otoskoot tekevät otoksesta normaalijakauman kaltaisen, mikä mahdollistaa z- ja t-testit sekä luottamusvälien laskennan. Rajoitteet: jos datassa on vinoutta tai pitkät hännät, normaalijakauma voi olla sopimaton malli; tällöin voidaan käyttää muita jakaumia tai muokattuja malleja.