otoskeskiarvo

Otoskeskiarvo (sample mean) on tilastotieteessä käytetty estimointi populaation keskiarvosta. Se on otoksen havaintoja yhdistävän aritmeettisen keskiarvon laskeminen: x̄ = (1/n) ∑_{i=1}^n x_i.

Ominaisuudet: Otoskeskiarvo on epäotollinen estimatori populaation keskiarvolle μ, mikä tarkoittaa, että sen odotusarvo on μ: E[x̄] = μ. Sen varianssi on Var(x̄) = σ^2/n, missä σ^2 on populaation varianssi (mittaava arvo, jos tunnettu). Jos otetaan otos suuresta populaatiosta ilman korvaamista, varianssia pienentää lisäksi niin kutsuttu lopullisen populaation korjauskerroin: Var(x̄) = (1 − f) σ^2 / n, jossa f = n/N.

Jakauma: Jos X_i ovat normaalisti jakautuneita, x̄ on normaalijakautunut: x̄ ~ N(μ, σ^2/n). Yleisemmin suuria otoskoossa n noudattaa keskivirran laajennettua tulosta (Central Limit Theorem), jolloin x̄ on suurilla n:n arvoilla likimmin N(μ, σ^2/n). Kun σ^2 on tuntematon, käytetään otosvarianssia s^2 estimointiin ja t-jakaumaa.

Käyttö ja estimointi: Otoskeskiarvoa käytetään populaation keskiarvon estimointiin sekä luottamusvälien (CI) rakentamiseen. Kun tunnetaan σ, CI on x̄ ± z_{α/2} (σ/√n). Kun σ tunnetaan epävarmana ja korvataan s:llä, CI on x̄ ± t_{n-1, α/2} (s/√n). Tämä on yleisin menetelmä pienille ja suurille otoksille.

Rajoitteet: Otoskeskiarvo on herkkä poikkeaville arvoille ja pienille otoskokoille. Se ei ole kovin robusti, ja tulosten tulkinta riippuu otoksen edustavuudesta sekä siitä, ovatko oletukset (kuten identtinen jakautuminen ja hajautuvan varianssin pysyvyys) voimassa.