Neumannentropie

Die Neumannentropie, häufig als von-Neumann-Entropie bezeichnet, ist die Quanten-Entropie eines Dichteoperators ρ. Sie generalisiert die Shannon-Entropie auf Quantensysteme. Formal definiert sie S(ρ) = - Tr(ρ log ρ). Wenn ρ in einer Basis mit Eigenwerten p_i geschrieben wird, reduziert sie sich auf S(ρ) = - ∑ p_i log p_i.

Eigenschaften: Sie ist unverändert unter unitären Transformationen ρ → UρU†. Für reine Zustände ist S(ρ) = 0, und der vollständig gemischte Zustand I/d besitzt S(ρ) = log d. Die Entropie misst die Unbestimmtheit oder Vermischung des Zustands und nimmt mit zunehmender Vermischung zu. In der Thermodynamik entspricht S(ρ) der Entropie eines Gibbs-Zustandes ρ = e^(-βH)/Z.

Für zusammengesetzte Systeme AB gilt Subadditivität: S(AB) ≤ S(A) + S(B). Die bedingte Entropie S(A|B) := S(AB) − S(B) kann negativ sein, was auf Verschränkung hindeutet. Die starke Subadditivität gehört zu den zentralen Eigenschaften der Quanten-Entropie.

Anwendungen: Die Neumannentropie ist zentral in der Quanteninformationstheorie, z. B. bei der Quantentomographie, der Quantenkodierung und beim Studium von Entanglement. In der Quantenhistorischen Thermodynamik verbindet sie Information mit Energie. Sie dient außerdem als Maß für die Unordnung eines Systems und spielt eine Rolle bei der Beurteilung von Quantenprozessen.

Generalisiert werden Renyi-Neumann-Entropien S_α(ρ) = (1/(1−α)) log Tr ρ^α, die verschiedene Aspekte von Unordnung mit unterschiedlichen Schwerpunkten erfassen. Der Begriff stammt von John von Neumann, der 1928 die Entropie als Quantenanalogon der Boltzmann- bzw. Shannon-Entropie einführte.

Messung und Berechnung: In Vielkörper-Systemen ist die direkte Bestimmung teuer; Schätzmethoden wie Quanten-Tomographie, Randomized Measurements oder Rechenmethoden werden verwendet.