NeumannRandwerte

Neumann Randwerte, auch Neumann-Bedingungen genannt, beschreiben, dass die Ableitung einer Funktion in Richtung des äußeren Normalenvektors am Rand eines Gebietes festgelegt ist. Sie stehen damit im Gegensatz zu Dirichlet-Randwerten, bei denen der Funktionswert auf dem Rand vorgegeben wird. In vielen Anwendungen modellieren Neumann Randwerte den Fluss oder die Fluxdichte durch den Rand.

Mathematisch betrachtet sei Ω ein Gebiet mit Rand ∂Ω. Ein übliches Neumann-Problem lautet -Δu = f in Ω mit ∂u/∂n = g auf ∂Ω, wobei ∂/∂n die Ableitung entlang des äußeren Normalenvektors n bezeichnet. Der Randwert g gibt den normalen Flux an.

In der Schwelform erhält man die natürliche Formulierung: Gesucht ist u ∈ H^1(Ω), so dass für alle v ∈ H^1(Ω) gilt ∫Ω ∇u · ∇v dx = ∫Ω f v dx + ∫∂Ω g v ds. Die Lösung ist im Allgemeinen nicht eindeutig: Sie ist eindeutig bis auf additive Konstante. Eine Existenz erfordert eine Kompatibilitätsbedingung: ∫Ω f dx + ∮∂Ω g ds = 0.

Neumann Randwerte treten in Wärmeleitung, Poisson- und Laplace-Gleichungen sowie in Strömungs- und Elektromagnetikproblemen auf. In der Finite-Elemente-Methode erscheinen sie als natürliche Randbedingungen; Dirichlet-Randwerte müssen separat implementiert werden. Mischformen wie Robin-Bedingungen kombinieren Neumann- und Dirichlet-Anteile.