Nabijheidsruimtes

Nabijheidsruimtes zijn wiskundige structuren in de topologie die het intuïtieve begrip van nabijheid tussen verzamelingen proberen vast te leggen zonder noodzakelijk een metriek te gebruiken. Ze bieden een breder kader dan strikt meetbare ruimten en topologische ruimten.

Een nabijheidsruimte bestaat uit een verzameling X en een nabijheidsstructuur N die aangeeft wanneer twee verzamelingen A en B nabij elkaar zijn. Die structuur kan worden geïmplementeerd als een nabijheidsrelatie tussen verzamelingen of als een familie buurverzamelingen per punt, afhankelijk van de gebruikte formalisering.

Een veelvoorkomend voorbeeld is de proximiteitsruimte, waarbij nabijheid wordt gedefinieerd via afsluitingen: A is nabij B als de afsluitingen van A en B elkaar raken (cl(A) ∩ cl(B) ≠ ∅). Proximitie ruimten generaliseren topologie en geven een raamwerk om convergentie en continuïteit te beschrijven zonder een afstandsmeting.

Relaties met andere structuren: elke metrische ruimte induceert een nabijheidsruimte via de bovenstaande definities, en een nabijheidsruimte kan vaak leiden tot een topologie of een uniforme structuur. Omgekeerd bieden nabijheidsruimtes een flexibele manier om ruimtelijkheid te bestuderen die minder strikt is dan metriek.

Toepassingen vinden we in analyse, geometrie en informatica, onder meer bij ruimtelijk redeneren, geografische informatiesystemen en theoretische computerwetenschap. De theorie van nabijheidsruimtes helpt bij het begrijpen van nabijheid en grensgedrag in ruimten waar geen natuurlijk meetinstrument aanwezig is.