NURBSFlächen

NURBS-Flächen, kurz für Non-Uniform Rational B-Splines Flächen, sind eine formale Repräsentation freiformiger Flächen in der computergestützten Geometrie. Sie erweitern B-Spline-Flächen durch eine nicht-uniforme Parametrisierung und rationale Gewichtung, wodurch eine größere Flexibilität und Genauigkeit bei der Modellierung erreicht wird.

Eine NURBS-Fläche S wird durch eine Kontrollnetzgitter Pij mit zugehörigen Gewichten wij, die Grade p und q sowie Knotensequenzen U und V bestimmt. Die univariaten Basisfunktionen N_i,p(u) und M_j,q(v) werden mittels des Cox–de Boor-Verfahrens berechnet. Die Fläche ergibt sich durch eine gewichtete Koordinatenbildung: S(u,v) = (Sum_i Sum_j N_i,p(u) M_j,q(v) wij Pij) / (Sum_i Sum_j N_i,p(u) M_j,q(v) wij). Sind alle Gewichte gleich, entspricht die Fläche einer B-Spline-Fläche; spezielle Gewichte ermöglichen die exakte Repräsentation von Kreisen, Ellipsen und Kugeln.

Zu den Vorteilen gehören lokale Beeinflussbarkeit durch einzelne Kontrollpunkte, hohe Glattheit und die Möglichkeit der refinements durch Knoteninsertion oder Grad-Erhöhung. NURBS-Flächen lassen sich durch einfache Operationen wie Verschiebung, Skalierung der Kontrollpunkte und Änderung der Knotensequenzen präzise modellieren. Die Evaluation erfolgt effizient durch Tensorprodukt-Basisfunktionen und gängige Algorithmen wie der De-Boors-Algorithmus.

Anwendungen finden sich vor allem in CAD/CAM, CAE und der 3D-Modellierung, wo komplexe Freiformflächen präzise und editierbar beschrieben werden müssen. NURBS zählen zu den Standardwerkzeugen moderner Modellierungssysteme und bilden die Grundlage vieler industrieller Formate und Softwarelösungen.