Multiplikativfehler

Multiplikativfehler bezeichnet in der Statistik eine Fehlerstruktur, bei der der beobachtete Wert Y durch die Multiplikation eines wahren Werts μ mit einem stochastischen Faktor ε entsteht: Y = μ × ε. Der Fehlertyp ist besonders geeignet, wenn relative, prozentuale Abweichungen statt absoluter Abweichungen konstant sind. Typischerweise wird angenommen, dass ε positiv ist und E[ε] = 1, sodass im Mittel der wahre Wert nicht systematisch verzerrt wird; die Varianz von ε bestimmt die Streuung. In vielen Anwendungen folgt ε aus einer Lognormalverteilung, alternativ aus einer Gamma-Verteilung oder anderen Verteilungen mit positivem Support. Häufig geht man zudem davon aus, dass ε unabhängig von μ und möglichen Prädiktoren X ist.

Bei der Modellierung Y = μ(X) × ε lässt sich durch eine logarithmische Transformation eine additive Fehlerstruktur erhalten: log Y = log μ(X) + log ε. Falls E[ε] = 1, hat log ε typischerweise einen Erwartungswert nahe null, insbesondere bei geringer Varianz. Dadurch ergeben sich in der Statistik nützliche Ansätze: Regressions- oder GLM-Modelle mit Log-Link oder Modelle, die auf log-transformierten Daten basieren, lassen sich verwenden, um Schätzungen zu gewinnen und Prognosen zu treffen.

Verteilungen und Schätzung: Häufig werden lognormale Fehler angenommen, doch auch andere positive Verteilungen sind möglich. Die Parameter von μ(X) werden dann über Maximum Likelihood oder andere schätzmethoden geschätzt, oft unter Berücksichtigung der Transformation oder direkter multiplicativer Spezifikationen.

Einschränkungen: Nullwerte in Y oder μ können das Modell problematisch machen, da eine Multiplikation mit ε typischerweise positives Y erfordert. Die Interpretation der Effekte erfolgt meist relativ statt absolut. Anwendungen finden sich in Ökonomie, Biologie und Umweltwissenschaften.