Momentegenskaperna

Momentegenskaperna är ett grundläggande begrepp inom sannolikhetsteori och statistik som beskriver hur en sannolikhetsfördelning eller en stokastisk variabel beter sig genom sina moment. Momenten ger information om läge, spridning och form.

Råa momenten, eller moment om utgångspunktet X, definieras som μ_k' = E[X^k] där k är ett positivt heltal och E betecknar inom sannolikhetsförväntan. Den första råa momenten μ_1' är medelvärdet μ = E[X]. Den andra råa momenten ger information om fördelningens skenbarhet men används oftare via centrala mått.

Centrala moment beskriver egenskaperna relativt fördelningens medelvärde. Det centrala momentet första ordningen är noll, andra ordningen är variansen Var(X) = E[(X-μ)^2], och högre centrala moment mäter form som skevhet och kurtosis. Skenhet γ1 = μ_3 / σ^3 där μ_3 = E[(X-μ)^3] och σ^2 = Var(X). Exces kurtosis γ2 = μ_4 / σ^4 - 3 där μ_4 = E[(X-μ)^4].

Transformationsregler: om Y = aX + b är en linjär bild, så μ_Y = aμ + b, Var(Y) = a^2 Var(X), och centrala moment μ_k(Y) = a^k μ_k(X). Råa momenten följer μ_k'(Y) = sum_{j=0}^k binomial(k,j) a^j b^{k-j} μ_j'(X).

Momentgenereringsfunktionen M_X(t) = E[e^{tX}] (om den existerar) ger momenterna som derivatorer vid t = 0: μ_k' = M_X^{(k)}(0). Den logaritmiska versionen ger cumulants.

Användningarna omfattar metod-of-moments-estimering, beskrivning av distributionsform och undersökningar av asymmetri och spetsighet. Handhavandet av moment beror på att vissa fördelningar saknar vissa moment och att olika fördelningar kan ha samma uppsättning av vissa moment.