Maximalvärdet

Maximalvärdet, eller maximum, är det största värde en funktion antar över sin domän. För en funktion f: D → R är ett tal M ett maximalvärde om det finns ett x0 i D så att f(x0) = M och f(x) ≤ M för alla x i D. När sådant M finns kallas det ofta det globala (eller absoluta) maximalvärdet på D. Funktionen kan också ha lokala maximala värden, där f(x) ≥ f(y) för alla y i en omgivning kring x, utan att vara den största möjliga över hela domänen.

Exempel: f(x) = -x^2 på R har det globala maximalvärdet 0 vid x = 0. Funktionen f(x) = arctan x har övre gräns π/2 men uppnår inte detta värde för något x, så den saknar ett globalt maximalvärde trots att supremum existerar; dess supremum är π/2.

Jämförelse med supremum: Supremum är den minsta övre gränsen till f(D). Den behöver inte uppnås av något x i D, vilket innebär att maximalvärdet inte existerar i strikt mening.

Extremvärdesatsen säger att om f är kontinuerlig och D är kompakt (stängt och begränsat) i R^n, så finns ett maximalvärde och ett minimivärde. Detta ger ofta garanti för existens av optima i praktiska problem.

Användningar: Begreppet används inom optimering, ekonomi och dataanalys för att beskriva det bästa utfallet under givna begränsningar.