Matrizenmethoden

Matrizenmethoden bezeichnen in der linearen Algebra und numerischen Mathematik die Verfahren, die Matrizen zur Lösung von Problemen verwenden. Typische Aufgaben sind das Lösen linearer Gleichungssysteme Ax = b, das Bestimmen von Eigenwerten und Eigenvektoren sowie das Lösen von Kleinste-Quadrate-Problemen.

Grundtypen sind direkte Methoden und iterative Methoden.

Zu den direkten Methoden gehören die Gaußsche Eliminationsmethode, LU- und PLU-Zerlegung, Cholesky-Zerlegung für symmetrische, positiv-definite Matrizen sowie QR-Zerlegung, die häufig bei Kleinste-Quadrate-Problemen eingesetzt wird.

Iterative Methoden umfassen Jacobi- und Gauss-Seidel-Verfahren, SOR, sowie Krylov-Unterraum-Verfahren wie CG (Conjugate Gradient) für symmetrische, positiv-definite Matrizen, GMRES und BiCGSTAB für allgemeinere Matrizen. Diese Methoden sind speicher- und zeitökonomisch bei großen Systemen.

Bei der Eigenwert- bzw. Singulärwert-Berechnung spielen Methoden wie der QR-Algorithmus, Potenzmethode bzw. Inversionsmethode sowie die Singulärwertzerlegung (SVD) eine zentrale Rolle.

Zusätzliche Konzepte: Vorbedingungen verbessern die Konvergenz von Iterativmethoden; Stabilität und Kondition der Matrix beeinflussen die Genauigkeit; numerische Rundung kann zu Fehlern führen; Faktorenzerlegungen wie Cholesky erleichtern robuste Berechnungen.

Anwendungen reichen von technischen Simulationen, Strukturmechanik, numerischer Strömungsmechanik (CFD), Grafik- und Bildverarbeitung, Datenanalyse bis hin zu maschinellem Lernen.