Matrixreduktion

Matrixreduktion bezeichnet in der linearen Algebra den Prozess der Umformung einer Matrix durch elementare Zeilenoperationen in eine einfachere Form, typischerweise in die Zeilen-Stufenform (REF) oder die reduzierte Zeilen-Stufenform (RREF). Durch solche Transformationen wird die Struktur des linearen Systems sichtbar, ohne die Lösungsmenge zu verändern.

Zu den elementaren Zeilenoperationen gehören Zeilenvertauschung, Multiplikation einer Zeile mit einer nicht-null Konstante und das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Diese Operationen lassen sich auch auf augmentierte Matrizen [A|b] anwenden, um die Lösung eines Gleichungssystems zu finden.

Ziele der Matrixreduktion sind die Bestimmung des Rangs, die einfache Lösung linearer Gleichungssysteme und die Ableitung von Eigenschaften wie des Zeilenraums, des Nullraums oder der Inversen einer quadratischen Matrix (falls vorhanden).

REF versus RREF: In der REF ist jede Zeile mit einem ersten Nicht-Null-Eintrag, dem Pivot, rechts von dem Pivot der darüberliegenden Zeile; alle Nullzeilen befinden sich unten. In der RREF sind die Pivot-Einträge 1, und jede Pivot-Spalte enthält nur Nullen außerhalb des Pivots. Dadurch werden Lösungen unmittelbar ersichtlich.

Algorithmen und Nutzung: Das Grundverfahren ist die Gaußsche Elimination, bei der zuerst eine Forward-Elimination zu REF erfolgt und optional durch Rücksubstitution zu einer eindeutigen Lösung führt; die Gauss-Jordan-Elimination wandelt die Matrix direkt in RREF. Numerische Anwendungen verwenden Pivoting (teilweise oder vollständig) zur Stabilität.

Beispiele der Anwendungen umfassen das Lösen von Gleichungssystemen, das Bestimmen des Rangs, das Finden von Basisvektoren des Zeilenraums oder des Nullraums, sowie das Berechnen von Inversen bei quadratischen Matrizen.

Hinweis: Die Matrixreduktion gilt über allgemeinen Feldern; in der Praxis werden Real- oder Complex-Felder verwendet. Bei schlecht konditionierten Matrizen können Datenstabilitäten problematisch sein.