Matristeori

Matristeori är en gren av matematiken som studerar egenskaper hos matriser och de linjära avbildningar som de representerar. En matris används för att beskriva en linjär avbildning mellan ändliga dimensioner av vektorrum över ett fält (ofta reella eller komplexa). En matris A betecknas ofta som A ∈ Fm×n, där m och n är antalet rader respektive kolumner. Grundläggande operationer är addition, skalär multiplikation och multiplikation, samt transponering. För kvadratiska matriser definieras determinant och invers oftast, och rangen anger hur många linjärt oberoende rader eller kolumner som finns.

Viktiga begrepp inkluderar rang, kärnan (nollrummet) och bildrummet, invertibilitet och lösningar till linjära system. Egenvärden och eigenvektorer ger insikt i hur en matris verkar på rummet; diagonalisation och Jordan-form är centrala teoretiska verktyg. Vanliga dekompositioner är LU-, QR- och singulärvärdesuppdelning (SVD). Lösningsprocedurer för linjära system beskrivs ofta med Gausselimination.

Teoretiskt studeras spektralteori för symmetriska eller Hermitiska matriser, där egenvärden är reala och vektorerna kan göras ortogonala. Positiv semidefinithet och positiv definithet spelar en viktig roll i optimering och statistik. Begrepp som normer, konditionsnummer och stabilitet är centrala inom matrisanalys och numerisk linjär algebra.

Användningar återfinns inom lösning av differentialekvationer, datorgrafik, statistik och dataanalys (t.ex. kovariansmatriser och PCA), ekonomiska modeller och maskininlärning. Inom numerisk linjär algebra studeras algoritmer som är effektiva och stabila för stora matriser.