Längenverteilungen

Eine Längenverteilung beschreibt die Verteilung der Längenwerte einer Stichprobe oder Population. Formal wird L als Zufallsgröße betrachtet, deren Verteilung durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte f_L(l) für kontinuierliche Längen oder eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion p_L(k) für diskrete Längen beschrieben wird. Zentrale Kenngrößen sind der Erwartungswert E[L], die Varianz Var[L], der Median sowie Perzentile.

Man unterscheidet zwischen kontinuierlichen Verteilungen, bei denen L theoretisch jeden positiven Wert annehmen kann, und diskreten Verteilungen, bei denen L nur fest definierte Werte annimmt (zum Beispiel ganze Millimeter). Die Wahl der Modellierung hängt von der Messaufgabe und dem Erfassungsprozess ab.

Zu den wichtigen Verteilungen zählen die Normalverteilung, die oft als zentrale Modellierung bei summierten Effekten dient; die Lognormalverteilung bei multiplikativem Wachstum oder Zerfallsprozessen; die Exponential- und Gamma-Verteilung für positive Größen; die Weibull-Verteilung, die in der Materialfestigkeit und Bruchstatistik eine Rolle spielt, sowie Power-Law-Verteilungen in bestimmten fragmentierenden Systemen.

Anwendungen finden sich in der Qualitätskontrolle und Fertigung (Längenmessungen von Produkten), in der Textil- und Metallverarbeitung, in der Polymerchemie und Biologie (Längen von DNA-Fragmenten), sowie in der Ökologie zur Beschreibung von Größenverteilungen von Organismen. Die Verteilung beeinflusst Verarbeitungseigenschaften, Transport und mechanische Festigkeit.

Zur Schätzung nutzt man Messdaten, erstellt Histogramme oder Kernel-Dichteschätzungen und passt Verteilungen mittels Maximum-Likelihood oder bayesianischer Methoden an. Gängige Gütemaße sind der Kolmogorov-Smirnov- oder Anderson-Darling-Test. Kenngrößen wie Erwartungswert, Median und Perzentile geben einen Überblick über zentrale Tendenz und Streuung.