Lyapunovfunktion

Eine Lyapunov-Funktion ist eine Skalarfunktion V: R^n -> R, die verwendet wird, um die Stabilität eines Gleichgewichts in dynamischen Systemen zu beweisen. Typischerweise betrachtet man Systeme der Form dx/dt = f(x) mit dem Gleichgewichtspunkt x* = 0. Eine Lyapunov-Funktion erfüllt V(0) = 0, V(x) > 0 für alle x ≠ 0 in einer Umgebung von 0, und der zeitliche Verlauf von V entlang der Trajektorien erfüllt dV/dt = ∇V(x) · f(x) ≤ 0. Unter diesen Bedingungen ist das Gleichgewicht stabil; wenn dV/dt < 0 für alle x ≠ 0 gilt, folgt asymptotische Stabilität. Die Globalität oder Lokalisierung der Stabilität hängt vom Definitionsbereich der Funktion ab.

Für diskrete Zeit-Systeme x_{k+1} = f(x_k) gilt ΔV(x) = V(f(x)) − V(x) ≤ 0; ΔV(x) < 0 für alle x ≠ 0 reicht für asymptotische Stabilität aus. Häufig verwendete Beispiele sind quadratische Formen V(x) = x^T P x mit positiv definitem Matrizen P oder V(x) = 1/2 x^T x, da sie einfache Ableitungen entlang der Trajektorien ermöglichen.

Bedeutung und Grenzen: Die Lyapunov-Methode liefert eine Direct-Method zum Stabilitätsnachweis, ohne die Lösung des Systems zu kennen. Die Existenz einer geeigneten Lyapunov-Funktion ist jedoch nicht garantiert. Erweiterungen wie das LaSalle-Invarianzprinzip verfeinern die Aussagen, etwa durch Verbindungen der Abnahme von V mit konvergierenden Trajektorien. Historisch wurde die Methode von Aleksandr Lyapunov im 19. Jahrhundert entwickelt und findet breite Anwendung in Regelungstechnik, Robotik, Physik und weiteren Bereichen der Dynamik.