Lukujoukkoina

Lukujoukkoina on matematiikan käsite, jolla tarkoitetaan lukuarvojen tarkastelemista erillisinä joukkoina. Yleisimmät lukujoukot ovat luonnolliset luvut N, kokonaisluvut Z, rationaaliluvut Q, reaaliluvut R ja kompleksiluvut C. Näillä suureilla on sisäkkäinen järjestys ja ne muodostavat rakenteen, jossa N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C. Lukujoukkoina käytetään sekä algebrallisten että analyysillisten teorioiden perustana.

Joukkoina luvut kuvastavat, miten luvut käyttäytyvät yhdessä: miten ne yhdistyvät operaatioin, millaisia ominaisuuksia ne säilyttävät lisäyksessä ja kertolaskussa sekä millaisia järjestyksiä ja topologioita niihin voidaan liittää. Esimerkiksi N, Z, Q ja R ovat sulkeutuneita tietyille toimintarajoille, ja erilaisten lukujen suhteet antavat erilaisia ominaisuuksia. Q on tiheä R:ssa, mikä tarkoittaa, että rationaaliluvut voivat olla välimatkoina missä tahansa reaaliluvun arvojen välissä. R on täydellinen joukko, mikä liittyy rajoihin ja konvergenssiin.

Esittäminen ja määrittelyt ovat keskeisiä: N voidaan usein määritellä luonnollisina lukuina {0, 1, 2, …}, Z kokonaislukujen joukkona {..., −2, −1, 0, 1, 2, …}, Q lukujen muodossa a/b (a ∈ Z, b ∈ Z\{0}), ja R sekä C reaalilukujen ja monipuolten laajennuksina. Lukujoukkoina toimii keskeinen perusta luvun käsiteen opettamisessa, analyysissä ja algebrassa sekä niiden suhteiden tutkimuksessa. Lisäimen kerroksena lukujoukkojen järjestys- ja topologiset rakenteet mahdollistavat tarkastelut etäisyyksistä, konvergenssista ja jatkuvuudesta.