Logarithmisch

Logarithmisch bezeichnet das Verhältnis zu Logarithmen. Ein Logarithmus zur Basis b (mit b > 0, b ≠ 1) ist die Zahl y, die man erhält, wenn man die Gleichung b^y = x löst. Die Funktion log_b(x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion b^x. Damit lässt sich ausdrücken, wie oft eine Zahl potenziert werden muss, um eine andere zu erreichen.

Die wichtigsten Basen sind 10 (dekadischer Logarithmus), e (natürlicher Logarithmus, ln) und 2 (binärer Logarithmus). Wichtige Eigenschaften: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y); log_b(x^k) = k log_b(x); log_b(x)/log_b(y) = log_y(x) (Änderungsbasisformel).

Logarithmen sind die Umkehrfunktion der Exponentialfunktionen. Der Graph log_b(x) ist für x > 0 definiert und streng monoton: Er steigt, wenn b > 1, und fällt, wenn 0 < b < 1. Sie lassen sich durch Basiswechsel an verschiedene Kontexte anpassen.

Anwendungen treten in der Skalierung von Größenordnungen auf, zum Beispiel in logarithmischen Skalen wie pH-Wert, Dezibel oder der früheren Richterskala. In Wissenschaft und Informatik dienen Logarithmen dazu, Multiplikationen in Additionen umzuwandeln, Wachstums- und Zerfallsprozesse zu modellieren und Algorithmen mit logarithmischer Laufzeit zu analysieren. Beispiele: log10(1000) = 3, ln(e^2) = 2, log_2(8) = 3.