Linksstetig

Linksstetig, oft als linkseitig stetig bezeichnet, ist eine Eigenschaft von Funktionen in der Analysis. Eine Funktion f mit Definitionsbereich D ist an einem Punkt a ∈ D linksstetig, wenn der Grenzwert von f(x) existiert, wenn x sich a von links nähert, und dabei dem Funktionswert f(a) entspricht. Formal gilt lim_{x→a^-} f(x) = f(a). Ist diese Bedingung für alle Punkte eines Intervalls I erfüllt, so ist f linksstetig auf I.

Linksstetigkeit wird mit rechtsseitiger Stetigkeit (lim_{x→a^+} f(x) = f(a)) unterschieden. Eine Funktion kann linksstetig sein, ohne rechtsstetig zu sein, und umgekehrt. Eine Funktion ist genau dann stetig auf einem Intervall, wenn sie sowohl links- als auch rechtsstetig ist.

Beispiele: Die Heaviside-Stufenfunktion H(x) = 0 für x ≤ 0 und 1 für x > 0 ist linksstetig, aber nicht rechtsstetig an der Stelle 0. Die Version H(x) = 0 für x < 0 und 1 für x ≥ 0 ist dagegen rechtsstetig, aber nicht linksstetig an 0.

Linksstetigkeit tritt häufig bei Schrittfunktionen, Monotonieuntersuchungen und der Behandlung einseitiger Grenzwerte auf. In Integrations- und Mengentheorie lässt sich durch einseitige Stetigkeiten Eigenschaften von Funktionen gezielt nutzen. Vollständige Stetigkeit erhält man only, wenn eine Funktion sowohl links- als auch rechtsstetig ist. Verwandte Begriffe sind einseitige Stetigkeit, rechtsstetig und linksstetig.