Linjæritet

Linjäritet är ett centralt begrepp inom matematik och dess tillämpningar som beskriver hur en funktion eller en operator beter sig när den utsätts för blandningar av indatan. I praktiken betyder det att systemet följer superpositionsprincipen: resultaten är proportionerliga och additive.

Formellt: En avbildning T från ett vektorrumV över fältet F till ett annat vektorrum W är linjär om T(a x + b y) = a T(x) + b T(y) för alla x, y i V och alla scalars a, b i F. Denna egenskap kombinerar additivitet (T(x + y) = T(x) + T(y)) och homogenitet (T(c x) = c T(x)). Linjära avbildningar behåller struktur: summor och skalningar av indata ledsori samma proportioner till utdata. Om domänen och målrummet representeras i rul av en matris A gäller T(x) = Ax.

Exempel: f(x) = 3x är linjär när domänen är reella tal. Däremot är f(x) = 3x + 2 inte linjär utan affin. Inom vektorrum är linjära avbildningar ofta representerade av matriser; egenskaper bevaras under sammansättning av sådana avbildningar.

Användningar: linjäritet är grundläggande i linjär algebra, differentialekvationer och signalbehandling. Inom signalbehandling används superposition för att analysera och designa linjära tidsinvarianta system; inom fysik och ekonomi underlättar linjära modeller analys och verifiering. Begränsningar uppstår när systemet eller ekvationerna är icke-linjära, vilket ofta kräver aproximativ linearisering eller helt andra metoder.