Linjär

Linjär är ett adjektiv som beskriver relationer eller objekt som uppfyller additivitet och homogenitet. Begreppet används inom matematik, naturvetenskap och teknik och berör allt från funktioner till system och modeller. I vardagligt sammanhang används också termen för relationer där vissa storheter ökar eller minskar i direkt proportion.

Inom matematiken används termen särskilt i linjär algebra. En linjär avbildning mellan två ändligt dimensionella vektorrum V och W över fältet K är en funktion f: V → W som uppfyller f(u+v) = f(u) + f(v) och f(αu) = α f(u) för alla u,v i V och alla α i K. En linjär avbildning mellan två ändligt dimensionella vektorrum kan representeras av en matris A i de valda baserna i V och W, så att y = A x beskriver avbildningen i koordinater.

Linjär funktion och affina funktion: En linjär funktion är vanligtvis definierad så att f(0)=0; grafen är en rak linje genom origo. I bredare bruk används ofta termen linjär funktion även för affina funktioner av formen f(x) = A x + b; den definierar inte en linjär avbildning men ett linjärt samband upp till konstantterm.

Linjär ekvation: En ekvation av första graden, t.ex. a1 x1 + ... + an xn = b. Lösningsmängden bildar i plan en linje (om n=2) eller ett hyperplan i högre dimension.

Linjär oberoende: En mängd vektorer är linjärt oberoende om ingen icke-trivial kombination av dem ger nollvektorn.

Tillämpningar och begränsningar: Linjära modeller används inom fysik, ekonomi och datorgrafik. De ger enkelhet och möjlighet till superposition, men realistiska fenomen är ofta icke-linjära; linjära approximationer används lokalt runt ett arbetsläge.