Linienelemente

Linienelemente sind infinitesimale Abschnitte einer Kurve, die die Längeneinheit entlang des Wegs darstellen. Sie bilden das zentrale Konzept zur Bestimmung der Länge einer Kurve. Für eine Kurve r(t) = (x(t), y(t)) in der Ebene gilt ds = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt. In der Raumgeometrie oder in allgemein gekrümmten Koordinaten generalisiert man ds durch das Linienelement ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j, wobei g die Metrik des Raums beschreibt. In kartesischen Koordinaten reduziert sich das zu ds = sqrt(dx^2 + dy^2 + dz^2) in drei Dimensionen.

Die Länge einer Kurve s ist das Integral über das Linienelement: s = ∫ ds. Linienelemente sind außerdem die Bausteine der metrischen Geometrie: Sie bleiben bei Koordinatentransformationen unverändert (invariante Größen). Anwendungen finden sich in der Geometrie, der Physik und der Kartografie: Sie ermöglichen die Berechnung von Kurvenlängen, Geodäsie und in der Relativitätstheorie den Raumzeit-Abstand durch ds^2 = g_{μν} dx^μ dx^ν. In der Praxis werden Linienelemente auch zur Approximation von Längen in GIS, Computergrafik und bei der Straßen- und Netzwerkanalyse verwendet.

Der Begriff Linienelemente wird in der deutschen Fachsprache sowohl im Singular als auch im Plural gebraucht; häufige Synonyme sind Linienelement, Längenelement oder Differentiallinienelement.