Lineaarteguriteks

Lineaarteguriteks nimetatakse polünoomi tegureid, mille aste on üks. Neid kasutatakse polünoomi faktoreerimisel ja lahenduste leidmisel, sest kui polünoomil on õiged tunnused, saab selle kirjutada kui konstandi a korrutisena lineaartegurite kujul P(x) = a ∏_{i=1}^k (x − r_i), kus r_i on polünoomi juured ning neid korratakse vastavalt nende korduste arvule.

Lineaartegurite mõiste on tihedalt seotud juurte olemusega. Kui polünoom P(x) on määratud keeruliste koefitsientidega, saab see jagada täielikult lineaarteguritena, ehk P(x) = a ∏ (x − r_i) koos kõikide r_i-ga (juured võivad olla kordusega). Kui koefitsiendid on reaalnumbrid, jagunevad kõik juured reaalarvudeks või tulevad komplekskonjugaatide paarid; viimasel juhul ei jagu polünoom reaalarvuliste lineaarteguritega, vaid tekivad kvadratiivsed tegurid, mis on (x^2 − 2Re(r)x + |r|^2).

Näited: P(x) = x^3 − 6x^2 + 11x − 6 on jagatav lineaarteguriteks P(x) = (x−1)(x−2)(x−3). Teine näide, Q(x) = x^2 + 1, jagub komplekssetel arvudel kui (x−i)(x+i), kuid reaalarvudega on see polünoom lineaarselt jagamatu.

Kasutus: lineaartegurite leidmine võimaldab lahendada võrrandeid ja mõista polünoomi käitumist x-teljel, kus iga r_i esitleb nullkoht ja kordus näitab, kuidas kõver seal üle või läbi läbib x-telge. Seosed hõlmavad juurte omadusi, korduseid ja faktoreerimise teostatavust erinevate koefitsientide tüüpi all.