Likelihoodfunktionen

LikelihoodFunktionen, im Deutschen häufiger als Likelihood-Funktionen bezeichnet, beschreibt die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten als Funktion der unbekannten Parameter eines statistischen Modells. Formal ist die Likelihood L(θ; x) = p(x|θ), wobei x die Daten und θ der Parametervektor ist. Bei unabhängigen Beobachtungen x1, ..., xn ergibt sich L(θ; x) = ∏_{i=1}^n f(x_i; θ). Die Likelihood ist keine Wahrscheinlichkeitsverteilung über θ; sie bewertet stattdessen, wie gut ein Parameterwert die Daten erklärt. Die Log-Likelihood ℓ(θ) = log L(θ; x) wird häufig genutzt, da sie Produkte in Summen überführt und Berechnungen erleichtert.

Maximum-Likelihood-Ansatz: Der Parameter θ wird so gewählt, dass L(θ; x) bzw. ℓ(θ) maximiert wird. Unter geeigneten Regularitätsbedingungen lassen sich Lösungen analytisch oder durch numerische Optimierung finden. Die Likelihood kann auch für Hypothesentests, Modellvergleich und Informationskriterien herangezogen werden, etwa mittels Likelihood-Ratio oder Akaike-Information-Criterion.

Eigenschaften: Die Likelihood hängt von der Modellierung ab und verändert sich mit Parametrisierung; sie ist invariant unter monotone Transformationen der Daten. Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist in vielen Modellen konsistent und asymptotisch normal. Für mehrdimensionale Parameter θ liefert die Hessian-Matrix der Log-Likelihood am Maximum Hinweise auf die Präzision der Schätzung.

Beispiele: Bei normalverteilter Daten mit bekannter Varianz maximiert der Mittelwert μ die Likelihood und entspricht dem Stichprobenmittelwert. Bei Bernoulli-Daten führt L(p) zu einem Schätzer p̂ = k/n, wobei k die Anzahl der Erfolge ist.

Verwendung: Likelihood-Funktionen sind Kernbestandteile von Schätzungen, Tests und Modellvergleichen in der Frequentist-Statistik. In Bayes’cher Statistik dient die Likelihood zusammen mit der Prior zur Bestimmung der Posterior-Verteilung.