Lebesgueintegrering

Lebesgueintegrering är en central metod inom matematisk analys för att definiera integralen av mätbara funktioner över ett måttrum. Låt (X, Σ, μ) vara ett måttutrymme. För en icke-negativ funktion f:X→[0,∞] definieras ∫ f dμ som den övre gränsen över integralerna av alla enkla funktioner s med 0 ≤ s ≤ f:

∫ f dμ = sup{ ∫ s dμ : s är enkel och 0 ≤ s ≤ f }.

För allmänna f räknas f^+(x) = max{f(x),0} och f^−(x) = max{−f(x),0}. Då är ∫ f dμ = ∫ f^+ dμ − ∫ f^− dμ om åtminstone en av de två integralerna är ändlig; annars är integralen odefinierad i extended sense.

Lebesgueintegrering bygger på mätbarhet och överensstämmer väl med gränsvärden. Den skiljer sig från Riemannintegreringen genom att den mäter bildmängder snarare än delområden, vilket gör det möjligt att integrera fler funktioner och att föra gränsvärden in i integralen. Viktiga resultat är Monotone konvergensteorem, satsen om dominerad konvergens, Fatous lemma och Fubinis sats.

Användningar finns inom sannolikhet (förväntningar), funktionell analys och L^p-rum. Exempel: indikatorfunktionen av rationella i [0,1] är Lebesgue-integrerbar och har integral 0, eftersom rationella har mått noll, även om funktionen inte är Riemannintegrerbar.