Lagrangeformalismus

Der Lagrange-Formalismus, oft als Lagrangescher Formalismus bezeichnet, ist ein formaler Ansatz in der klassischen Mechanik und der Feldtheorie, der die Bewegung eines Systems aus der Variation eines Lagrangians ableitet. Der Lagrangian L wird typischerweise als L = T − V definiert und hängt von den verallgemeinerten Koordinaten q_i(t) und deren Ableitungen q̇_i(t) ab. Die Bewegungsgleichungen folgen aus den Euler-Lagrange-Gleichungen: d/dt (∂L/∂q̇_i) − ∂L/∂q_i = 0 für alle i. Das Aktionsprinzip besagt, dass die tatsächliche Trajektorie die Aktion S = ∫ L dt stationär macht. Dadurch lassen sich komplexe Systeme ohne direkt zu lösende Newtonsche Kräfte beschreiben, insbesondere wenn Zwangsbedingungen vorliegen.

Ein wesentlicher Vorteil ist die Koordinatentransformationsinvarianz und die natürliche Behandlung von Zwangsbedingungen durch Lagrange-Multiplikatoren. In der Verbindung mit dem Hamilton-Formalismus ergibt sich durch die Legendre-Transformation H = Σ p_i q̇_i − L, mit p_i = ∂L/∂q̇_i, die Hamiltonsche Darstellung der Mechanik.

In der Feldtheorie wird L durch eine Lagrangian density ℒ ersetzt und S = ∫ ℒ d^4x. Die Variation von S liefert Feldgleichungen (Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder). Historisch entwickelte Lagrange den Formalismus im späten 18. Jahrhundert als Alternative zum Newtonschen Formalismus; er bildet die Grundlage vieler moderner Ansätze in Mechanik, Kontinuumsmechanik, Elektrodynamik und Quantenmechanik.