Lösungskonstruktionen

Lösungskonstruktionen bezeichnen in Mathematik und Problemlösungssystemen Verfahren, die eine gesuchte Lösung explizit herstellen oder erzeugen. Statt nur zu zeigen, dass etwas existiert, liefert eine Lösungskonstruktion einen konkreten Prozess oder ein Produkt, das die Lösung liefert, oft in endlichen Schritten.

Der Begriff ist eng mit konstruktiver Mathematik verbunden. In der konstruktiven Auffassung müssen Beweise oder Methoden eine tatsächlich ausführbare Konstruktion enthalten, wodurch eine Lösung in einer endlichen Abfolge von Schritten gewonnen wird. Gegenüber nicht-konstruktiven Beweisen wird hier Rechenschaft über das Herstellungsverfahren gefordert. In der historischen Entwicklung prägten Arbeiten von Brouwer, Heyting und anderen die Idee, dass Beweis und Konstruktion untrennbar verbunden sind.

Typische Lösungskonstruktionen umfassen geometrische Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, algebraische Verfahren zur schrittweisen Herleitung von Lösungen sowie numerische Algorithmen, die durch Iteration eine Näherung liefern. Beispiele: geometrische Konstruktion der Quadratwurzel aus 2, das Lösen einer linearen Gleichung durch Eliminationsschritte, oder das Newton-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Werten. Ebenso zählen konstruktive Beweise, die eine zu beweisende Entität explizit angeben, dazu.

Anwendungsbereiche liegen in der Schul- und Hochschulbildung, der Geometrie, der Algorithmik und der Numerischen Mathematik. Vorteile einer Lösungskonstruktion sind Reproduzierbarkeit, Transparenz des Verfahrens und direkte Nutzbarkeit der Lösung. Beschränkungen ergeben sich daraus, dass manche Existenzbeweise nicht auf eine praktikable oder einfache Konstruktion übertragbar sind oder die Konstruktion komplexe oder ressourcenintensive Schritte erfordert.

Verwandte Konzepte sind der konstruktive vs. nicht-konstruktive Beweis, Beweise durch Konstruktion sowie in der Informatik algorithmische Lösbarkeit und Komplexität.