Kurvenwerte

Kurvenwerte (singular: Kurvenwert) ist ein Begriff aus der Mathematik, der die Werte bezeichnet, die entstehen, wenn eine Funktion entlang der Punkte einer Kurve ausgewertet wird. Genauer gilt: Sei C eine Kurve im Ebene oder im Raum und f eine reellwertige Funktion, die im Umgebungsraum definiert ist. Dann sind die Kurvenwerte von f auf C die Zahlen f(p) für alle Punkte p ∈ C. Wenn die Kurve parametrisch durch γ: I → R^n gegeben ist, t ↦ γ(t), dann liegen die Kurvenwerte oft in der Form f(γ(t)) vor, also die Verkettung von f mit der Parametrisierung.

Formal lässt sich auch das Bildmengenbild f(C) betrachten, das die Menge {f(p) : p ∈ C} bezeichnet; je nach Funktionswert und Kurvenbeschaffenheit kann dieses Bild eine Kurve, eine Fläche oder eine allgemeinere Teilmenge des Wertebereichs sein. In der Praxis werden Kurvenwerte häufig abgetastet, um zu untersuchen, wie sich f entlang der Kurve verhält oder um Grafiken zu erstellen.

Beispiele: Sei C durch die Parametrisierung γ(t) = (t, t^2) für t ∈ [0,1] gegeben und sei f(x,y) = x + y. Dann ergeben die Kurvenwerte f(γ(t)) = t + t^2, eine Funktion, die die Variation von f entlang der Kurve beschreibt. In Physik oder Geometrie kann der Begriff auch auftreten, wenn man ein Skalarfeld entlang einer Trajektorie auswertet.

Anwendungen umfassen die Analyse der Änderung einer Größe entlang einer Kurve, Plotterstellung, numerische Integration oder Simulationen, bei denen Werte auf einem Pfad benötigt werden. Kurvenwerte betonen die Auswertung einer Funktion auf einem Pfad statt die bloße Geometrie der Kurve.