Kurvenparameter

Kurvenparameter ist der reelle Parameter, mit dem eine Kurve beschrieben wird. In der Geometrie wird eine Kurve in n Dimensionen oft durch eine Funktion γ: I → R^n beschrieben, wobei I ein Intervall der reellen Achse ist. Der Punkt der Kurve zu dem Zeitpunkt t wird durch γ(t) angegeben.

Eine Kurve heißt regulär, wenn γ′(t) ≠ 0 für alle t in I gilt. Ist φ: J → I eine strikt monotone differenzierbare Abbildung, dann ist γ̃(t) = γ(φ(t)) eine andere Parameterisierung derselben Kurve. Solche Reparametrisierungen verändern geometrisch nichts an der Kurve, sondern nur den zeitlichen Ablauf, mit dem Punkte durchlaufen werden.

Die Bogenlänge s von t ist definiert durch s(t) = ∫_{t0}^{t} ||γ′(u)|| du. Falls sich s(t) umkehren lässt, erhält man eine Bogenlängparametrisierung γ̃(s) = γ(t(s)) mit der Eigenschaft ||dγ̃/ds|| = 1. Diese Darstellung ist nützlich, weil viele Größen entlang der Kurve dann unabhängig von der gewählten Darstellung definiert werden können.

Beispiele: Eine Kreisbahn in der Ebene wird oft durch γ(t) = (cos t, sin t) beschrieben. Eine Raumkurve wie eine Helix hat γ(t) = (cos t, sin t, t).

Wichtige Größen: Die Krümmung κ und ggf. die Bogenlänge-abhängige Torsion ergeben sich aus Ableitungen von γ. In der Ebene ist κ = |x′ y′′ − y′ x′′| / (x′^2 + y′^2)^{3/2}. Unter Reparametrisierung bleibt die geometrische Krümmung κ(s) erhalten, sofern man sie als Funktion der Bogenlänge betrachtet. Der Kurvenparameter dient also primär zur Beschreibung der Bewegung entlang der Kurve.

Verwendung: Kurvenparameter werden in Mathematik, Physik und Computergraphik genutzt, etwa zur Beschreibung von Trajektorien, Graphenparametrisierung oder Animationen. Die Wahl des Parameters hängt von der Anwendung ab.

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