Kreisscheibe

Die Kreisscheibe ist in der Geometrie die Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem festen Mittelpunkt kleiner als ein gegebener Radius ist. Formal lässt sie sich als B(c, R) = { z ∈ C : |z − c| < R } angeben, wobei c der Mittelpunkt und R > 0 der Radius ist. Die offene Kreisscheibe enthält das Innere des Kreises; die geschlossene Kreisscheibe schließt zudem den Rand ein.

Geometrische Eigenschaften: Die Kreisscheibe ist konvex und zusammenhängend. Ihre Fläche beträgt πR^2, der Umfang der Randlinie beträgt 2πR. Die Randlinie heißt Kreis; der Bereich umfasst auch seine Grenze, wenn von der geschlossenen Kreisscheibe die Rede ist. Die offenen und geschlossenen Kreisscheiben unterscheiden sich durch das Vorhandensein oder Fehlen des Randes.

In der komplexen Analysis dient die offene Kreisscheibe D(c, R) = { z ∈ C : |z − c| < R } als Standard-Domain. Sie ermöglicht Potenzreihenentwicklungen mit Mittelpunkt c, und viele grundlegende Sätze wie das Maximumprinzip oder der Satz von Schwarz gelten dort bzw. in Modifikationen. Die Unit Disk D(0,1) spielt eine zentrale Rolle, weil sie durch Möbiustransformationen auf sich abbildbar ist und als Modellraum für holomorphe Funktionen dient. Die Automorphismen des Einheitskreises sind Möbiustransformationen der Form φ_{a,θ}(z) = e^{iθ} (z − a) / (1 − ā z) mit |a| < 1, die D auf sich abbilden.

Zusammengefasst ist die Kreisscheibe eine grundlegende geometrische und funktionentheoretische Struktur: definiert durch Mittelpunkt und Radius, konvex und offen oder geschlossen je nach Betrachtung, mit zentraler Bedeutung in der Analysis.