Koordinátatranszformálás

Koordinátatranszformálás olyan folyamat, amely során egy pont vagy objektum koordinátáinak értékeit egy másik koordinátarendszerben vagy keretben adják meg. Ennek célja a helyzet vagy orientáció jellemzőinek egyszerűbb értelmezése, számítása vagy összevetése különböző nézőpontok között.

A leggyakoribb típusok közé tartozik a lineáris transzformáció, az eltolás (transzláció), a forgatás, a tükrözés és a skálázás, valamint ezek kombinációi, amelyeket affinitív transzformációnak nevezünk. Egy 2D-s pont p = [x, y]^T esetén egy általános affinitív transzformációt általában p' = A p + t írja le, ahol A egy 2x2-es választható konstanstérbeli mátrix, t pedig eltolási vektor. Egyszerű példák: forgatás p' = R(θ) p, eltolás p' = p + t, skálázás p' = s p.

A transzformációkat egységes keretben gyakran homogén koordinátákkal írják fel. 2D esetben p_h = [x, y, 1]^T, és egy 3x3-as mátrixkal lehet írni a transzformációt: p'_h = T_h p_h, ahol T_h tartalmazza az A-t és a t-t. Így az affinitív transzformációk is kifejezhetők push-forward jellegű mátrixszorzással.

Nemlineáris koordinátatranszformációk is előfordulnak, például f(p), amelynek helyességét a Jacobian J = ∂f/∂p adja meg a lokális lineáris közelítéshez; a transzformációkhoz gyakran indirekt geometriai következmények társulnak.

Alkalmazások széles köre van: számítógépes grafika, robotika, CAD/CAM rendszerek, GIS és geodéziai mérések, ahol különböző koordináta-keretek között kell pontosan és konzisztensen számokat átadni. A koordinátatranszformálás alapja a koordináták és keretek közötti viszony leíró mátrixokkal történő reprezentációja.