Koordinaatistomuutoksista

Koordinaatistomuutoksista tarkoitetaan muunnoksia, joissa pisteiden koordinaattien esitys muutetaan uudessa koordinaatistossa. Ne ovat keskeisiä sekä geometriassa että sovelluksissa kuten fysiikassa, kartoituksessa ja tietokonegrafiikassa. Muunnokset vaikuttavat yleensä vain siihen, miten pisteet esitetään, eivät muuta itse pistettä.

Yleisimmät muunnokset jaotellaan afineihin (lineaarisiin) ja epälineaarisiin. Afine muunnos voidaan esittää muodossa x' = A x + t, missä A on n×n -matriisi ja t on siirtovektori. Tämä kattaa kierron, skaalaamisen, venytyksen ja siirron sekä niiden yhdistelmät. Homogeenisessa muodossa muunnos kirjoitetaan käyttämällä lisäkoordinaattoria: [x';1] = T [x;1], jossa T on 3×3 (2D) tai 4×4 (3D) matriisi.

Epälineaariset muunnokset voivat kuvata projektioita tai muita ei-lineaarisia riippuvuuksia koordinaatistosta toiseen. Niiden analyysiin käytetään Jacobian-matriisia J(x) = ∂f/∂x, joka kuvaa muunnoksen paikallisen lineaarisen rakenteen. Inversiomuunnos f^{-1} on mahdollista, jos muunnos on invertible ja sen Jacobian on säännöllinen kaikilla tarkasteltavilla pisteillä (esimerkiksi diffeomorfismi).

Sovelluksiin kuuluvat esimerkiksi tietokonegrafiikka, karttapalvelut, robotiikka sekä fysiikan teoria, joissa eri havaintopaikkojen koordinaatistot liittyvät toisiinsa. Koordinaatistomuutokset mahdollistavat objektien kiertämisen, skaalaamisen, projektioiden sekä sijaintien vertaamisen erilaisten mittausten välillä.