diffeomorfismi

Diffeomorfismi sono gli isomorfismi dell’insieme delle varietà lisce: richieste come bijettività, lisciareità e liscia invertibilità. Più precisamente, se M e N sono varietà lisce, una mappa f: M → N è un diffeomorfismo quando è bijettiva, liscia e la sua inversa f^{-1}: N → M è anch’essa liscia. In questo senso i diffeomorfismi sono gli isomorfismi della categoria delle varietà lisce.

Nel linguaggio comune si parla di diffeomorfismi di M su se stesso, formando il gruppo Diff(M) con l’operazione di composizione. Se si restringe la regolarità alle funzioni di classe C^r, si ottiene Diff^r(M); per una struttura liscia si usa Diff(M) o Diff^∞(M).

Proprietà fondamentali: un diffeomorfismo è localmente un omeomorfismo e la derivata Df_x è un’applicazione lineare invertibile in ogni punto x di M. In coordinate, la matrice Jacobiana ha determinante non nullo ovunque. Di conseguenza i diffeomorfismi sono anche localmente invertibili e conservano la struttura differenziabile.

Esempi tipici includono traslazioni e rotazioni di R^n, e più in generale qualsiasi applicazione lineare invertibile con inversa liscia (GL(n, R) è un sottoinsieme di diffeomorfismi di R^n). Se M è orientata, un diffeomorfismo è detto orientamento-preserving se la sua Jacobiana ha determinante positivo in ogni punto.

Confrontati con gli homeomorfismi, i diffeomorfismi richiedono una regolarità liscia, rendendoli strumenti fondamentali per la geometria e l’analisi delle strutture differenziabili e delle simmetrie geometriche.