traslazioni

Le traslazioni sono moti geometrici che spostano ogni punto di una figura o di uno spazio della stessa distanza in una direzione fissa. In due dimensioni, una traslazione è definita da un vettore di traslazione t = (a, b): per ogni punto p = (x, y) si ottiene T_t(p) = p + t = (x + a, y + b). In tre dimensioni, p = (x, y, z) viene portato a p + t = (x + a, y + b, z + c).

Proprietà: le traslazioni conservano le distanze tra punti e gli angoli, quindi una figura rimane congrua a se stessa. Le linee parallele restano parallele e non avviene alcuna rotazione o riflessione; l’orientamento della figura è preservato. Ogni traslazione è un moto rigido, che sposta la figura senza deformarla.

Composizione e inverso: la composizione di due traslazioni T_u e T_v è una traslazione T_{u+v}, e l’inverso di una traslazione T_v è T_{-v}. L’insieme delle traslazioni in uno spazio euclideo costituisce un gruppo isomorfo al gruppo additivo dello spazio vettoriale corrispondente (R^2 o R^3).

Rappresentazione: le traslazioni non sono trasformazioni lineari (non mantengono l’origine), ma possono essere incluse tra le trasformazioni affini o rappresentate tramite coordinate omogenee tramite matrici appropriate (es. 3x3 per 2D, 4x4 per 3D).

Applicazioni: grafica computerizzata, modellazione geometrica, robotica, simulazioni e mappature, dove è comune spostare oggetti senza alterarne forma o dimensione.