sottoinsieme

Sottoinsieme è una relazione tra insiemi in matematica. Dati due insiemi A e B, si dice che A è un sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche elemento di B. Si usa la notazione A ⊆ B. Se A ⊆ B e A ≠ B, allora A è un sottoinsieme proprio (talvolta indicato con A ⊊ B o, con alcuni autori, con ⊂ per indicare tale proprietà; la notazione non è uniforme).

Proprietà fondamentali: la relazione di sottoinsieme è riflessiva (ogni insieme è sottoinsieme di se stesso), antisimmetrica (se A ⊆ B e B ⊆ A allora A = B) e transitiva (se A ⊆ B e B ⊆ C allora A ⊆ C). Per ogni insieme A vale ∅ ⊆ A, e, rispetto a un insieme universale U, si ha A ⊆ U per ogni A ⊆ U.

Esempi: se A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}, allora A ⊆ B. Asintotico con ∅, ad esempio ∅ ⊆ {a, b}. Inoltre A ⊊ B è vero in questo caso, poiché A ⊆ B e A ≠ B.

Contesto e usi: la relazione di sottoinsieme definisce un ordine parziale sull’insieme delle parti P(X) della realtà X. È comune utilizzare il concetto di sottoinsieme per parlare di inclusione, gerarchie tra insiemi e operazioni insiemistiche: se A ⊆ B, allora A ∪ C ⊆ B ∪ C e A ∩ C ⊆ B ∩ C. La nozione può dipendere dal contesto del sottoinsieme universale considerato.