Konveksiyonu

Konveksiyonu, matematikte konvekslik kavramına ilişkin genel bir terim olarak kullanılır. Bu kavram özellikle konveks kümeler ve konveks fonksiyonlar üzerinden tanımlanır ve optimizasyon, ekonomi ve makine öğrenmesi gibi alanlarda önemli uygulamalara sahiptir.

Bir vektör uzayında C bir küme ise ve x ile y C içinde bulunuyorsa, t aralığında 0 ≤ t ≤ 1, tx + (1 − t)y de C içinde kalıyorsa C konveks bir kümedir. Bu durum, kümenin tüm doğrusal kombinasyonlarının da küme içinde olduğunu ifade eder. Konveks olmayan kümeler ise bu özelliği sağlamaz.

Bir fonksiyon f tanımsal olarak konveksse, domain’i konveks bir küme olan f: D → R için her x, y ∈ D ve her t ∈ [0,1] için f(tx + (1 − t)y) ≤ t f(x) + (1 − t) f(y) eşitsizliği geçerlidir. Bu özellik, fonksiyonun grafiklerinde iki nokta arasındaki doğrusal karışımın f değerinin doğrusal karışımından daha yüksek olduğunu gösterir. Konveks fonksiyonlara örnekler; f(x) = x^2, f(x) = |x|, f(x) = e^x. Negatif doğrultuda türetilmiş fonksiyonlar veya negatif işaretle çarpılan konveks fonksiyonlar konveks değildir; örneğin f(x) = −x^2 konveks değildir.

Epigraph kavramı gibi ileri konular da konveksiyonu ile ilişkilendirilebilir: epigraph, grafiğin altında kalan bölgelerin konveks olması konveksiteli ifade eder. Özellikler arasında her konveks kümeye ait doğrusal karışımların kalması, konveks hull (en küçük konveks küme) kavramı ve Jensen eşitsizliği yer alır. Optimizasyonda, konveks problemde yerel minimumlar global minimumlar olma eğilimindedir; bu, çözümün bulunmasını kolaylaştırır. Konveksiyon kavramı ekonomi, istatistik, bilgisayar grafikleri ve makine öğrenmesi gibi geniş alanlarda temel araçlardan biridir. Tarihsel olarak 19. ve 20. yüzyıllarda geliştirilmiş olan konveks analiz, bugün modern matematik ve uygulamalı bilimlerin temel taşlarından sayılır.