kümeler

Kümeler, belirli bir özelliği paylaşan öğelerin topluluğudur. Bir kümenin öğelerine üyeler denir ve genellikle A, B gibi harflerle adlandırılır. Bir öğe x, A kümesinin elemanı olduğunda x ∈ A şeklinde yazılır. Kümelerde öğeler tekrarlanmaz; tekrarlı yazımlar kümeye eklenmez.

Bir kümenin en küçük kapsayıcısı evren kümesi U’dur. A ⊆ B ifadesi, A’nın B’nin alt kümesi olduğunu gösterir. Aşağıya doğru Şu şekilde kullanılır: boş küme Ø, hiçbir öğe içermez. Eğer A ⊆ B ve A ≠ B ise A proper alt kümedir.

Temel küme işlemleri arasında birleşim, kesişim ve fark bulunur. A ∪ B, her iki kümede de bulunan öğeleri içerir. A ∩ B, her iki kümede de bulunan öğeleri içerir. A \ B, yalnızca A’da bulunan öğelerden oluşur. Kompleman ya da tamamlayıcı kavramı, evren kümesi U üzerinden A^c ile ifade edilir; A^c, U’da A’da bulunmayan öğeleri içerir. Kardinalite |A| ile kümenin eleman sayısı belirlenir; güc kümesi P(A), A’nın tüm alt kümelerinin kümesidir. Finite küme, sonlu eleman içerir; sonsuz küme ise sonsuz sayıda eleman taşır.

Örnekler: A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} ise A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {3}, A \ B = {1, 2}. Boş küme Ø’nin kardinalitesi 0’dır.

Kümeler, modern matematiğin temel yapı taşlarıdır; sayılar kümeler olarak tanımlanabilir ve kümeler üzerinde kurulan işlemler, daha kapsamlı kuramsal yapıların temelini oluşturur. Küme kuramı, ZFC gibi aksiyom sistemleriyle çalışır ve çoğu matematiksel kavramın sağlam temellerini sağlar.