Konfigurationsraums

Konfigurationsraums, im Plural Konfigurationsräume, bezeichnet den mathematischen Raum aller möglichen Konfigurationen eines Systems. In der Mechanik wird er typischerweise durch die generalisierten Koordinaten q = (q1, ..., qn) beschrieben. Der Raum Q ist n-dimensional; ohne Einschränkungen entspricht er oft R^n, während holonomische Beschränkungen zu Untermannigfaltigkeiten führen.

Der Konfigurationsraum unterscheidet sich vom Phasenraum, der zusätzlich Impuls- oder Geschwindigkeitskoordinaten enthält. Die Geometrie von Q, oft durch eine Massmatrix M(q) bestimmt, liefert die kinetische Energie T = 1/2 qdot^T M(q) qdot und macht Q zu einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Trajektorien q(t) sind Kurven in Q; die Bewegung ergibt sich aus den Lagrange-Gleichungen.

Anwendungen finden sich in Robotik und Bewegungsplanung: Der Konfigurationsraum, oft als C-Space bezeichnet, dient dazu, Hindernisse in der realen Szene in Hindernisbereiche im Konfigurationsraum zu transformieren. Die Dimension des C-Space entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade; holonomische Beschränkungen reduzieren sie, während nicht-holonomische Beschränkungen die Zugänglichkeit beeinflussen. Pfade in Q entsprechen möglichen Bewegungen des Systems; Planungen erfolgen oft durch Erkundung dieses Raums.

Beispiele: Ein einfaches Pendel besitzt Konfigurationsraum S^1; ein doppeltes Pendel hat den Raum T^2; ein Planararm mit zwei Gelenken hat ebenfalls T^2. Systeme mit komplexeren Gelenken bilden entsprechend unterschiedliche Mannigfaltigkeiten.

In der Mathematik und in der Quantenmechanik wird der Konfigurationsraum auch als Raum der Positionsangaben genutzt, auf dem z. B. Wellenfunktionen oder Pfadintegrale formuliert werden.