Kompaktmengen

Kompaktmengen, in der englischsprachigen Terminologie als compact sets bekannt, sind eine zentrale Idee der Topologie und Analysis. In einem topologischen Raum X ist eine Teilmenge K ⊂ X kompakt, wenn jede offene Überdeckung von K eine endliche Unterdeckung besitzt. Formal heißt das: Jede Sammlung offener Mengen, die K abdeckt, enthält eine endliche Teilmenge, die ebenfalls K abdeckt.

In metrischen Räumen lassen sich zusätzliche äquivalente Charakterisierungen formulieren. Eine Teilmenge K eines metrischen Raums ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in K eine konvergente Subfolge mit Grenzwert in K besitzt (sogenannte sequenzielle Kompaktheit). Ebenso gilt: K ist kompakt genau dann, wenn sie vollständig und total beschränkt ist. In allgemeinen topologischen Räumen können diese Äquivalenzen scheitern, weshalb die Definition über Überdeckungen maßgeblich bleibt.

Für Räume wie R^n erfüllt der Heine-Borel-Satz eine besonders einfache Bedingung: Eine Teilmenge K ⊂ R^n ist kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Das vereinfacht viele Beweise in Analysis und Geometrie. Beispiele für kompakte Mengen in R^n sind geschlossene Intervalle wie [a,b], geschlossene Kugelabschitte oder die Sphäre S^{n-1}. Offene Mengen wie (a,b) sind im Allgemeinen nicht kompakt.

Wichtige Eigenschaften umfassen: Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung ist kompakt. Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt. Die Vereinigung von finitely vielen kompakten Mengen ist kompakt. In Hausdorff-Räumen sind kompakte Mengen abgeschlossen.

Kompaktmengen liefern Grundresultate wie den Extremwertsatz, da auf einer kompakten Menge stetige Funktionen immer ein Maximum und ein Minimum erreichen. Sie dienen zudem als hilfreige Kompaktions- und Stabilitätswerkzeuge in Analysis und Topologie.