Klassennummern

KlassenNummern, in algebraischer Zahlentheorie oft als Klassenzahl bezeichnet, sind Invarianten, die beschreiben, wie stark die eindeutige Faktorisierung in der ganzen Zahlendom des Zahlkörpers K scheitert. Die Klassengruppe Cl_K besteht aus den Idealklassen der ganzen Ringe O_K modulo den primitiveren Idealklassen. Die Ordnung h_K dieser Gruppe heißt Klassenzahl von K. Wenn h_K gleich eins ist, ist jeder Idealklassenwert principal und O_K ist ein Hauptidealring (und zudem ein eindeutiger Faktorierungsring).

Die Klassengruppe ist endlich, unabhängig von der Größe des Zahlkörpers, und ihre Struktur enthält Informationen über die faktorisierungstheoretischen Eigenschaften von O_K. Die Reste der Struktur des Zahlkörpers—einschließlich der Anzahl der realen bzw. komplexen Einbettungen (r1, r2) und der Einheitenmenge—stehen in Zusammenhang mit der Klassenzahl via Formeln der Dirichlet-L-Funktionen und der Regulatoren. Die Klassenzahl kann daher als Maß dafür dienen, wie weit ein Zahlkörper von der Eigenschaft der eindeutigen Faktorisierung entfernt ist.

Als wichtige Spezialfälle gelten der rationalen Zahlkörper Q, dessen Klassenzahl h_Q = 1 ist, und die imaginär-quadratischen Zahlkörper mit Diskriminanten D, für die Gauss’ Heegner-Zahlenkandidaten eine Klasse von D liefern, bei denen h_K = 1 gilt. Im realen Quadratisierungsfall existieren Beispiele mit h_K = 1, doch eine vollständige Klassifikation ist bislang unbekannt; generell steigt h_K mit komplexeren Strukturen tendenziell.

Klassenzahlen spielen eine zentrale Rolle bei der Untersuchung von Gaußschem Faktorisieren, dem Aufbau von Klassengruppen sowie in der Berechnung numerischer Größen von Zahlkörpern; sie werden schriftlich durch analytische Klassenformeln und algorithmische Verfahren bestimmt.